Mapas de Karnaugh: ¿Qué son? Sus Funciones y más

En esta oportunidad podrá conocer sobre los Mapas de Karnaugh. A estos también se les conoce como Mapa-K, los cuales representan una muy buena herramienta para las personas al momento de hacer gráficas u otras representaciones. Es un recurso que tiene muchos años y también se utiliza para la electrónica al momento de hacer ciertos cálculos para armar circuitos.

Mapas de Karnaugh

Su definición

El mapa de Karnaugh es una herramienta con la que se pueden elaborar ciertos diagramas a través de ciertas técnicas que permitirán a las personas aprender sobre ciertos tipos de patrones y también ayuda reduciendo drásticamente la cantidad de cálculos que se realizan al momento de realizar procedimientos determinados. Tanto los físicos como los matemáticos han utilizado este método que se parece mucho al mapa de la verdad y han demostrado ser muy efectivo.

Con este mapa una de las cosas más importantes que se pueden dar por seguras es que tanto una variable de entrada como de salida están en capacidad de tener diferentes valores y con el mapa de Karnaugh se puede tener un conocimiento rápido sobre las mismas. Algunas personas también lo definen como “Una secuencia de celdas en la que cada una de estas representa un valor binario de las variables de entrada”.

Con este mapa se aprovecha mucho la capacidad del cerebro humano al momento de identificar ciertas situaciones o patrones de análisis reduciendo enormemente las diferentes situaciones que se pueden presentar cuando se hace un cálculo. Muchos programas de computación que se utilizan para hacer cálculos utilizan este mapa el cual viene configurado en sus funciones, muchas personas no saben siquiera que el mismo existe, pero el programa de cálculo trabaja con sus principios.

Los Mapas de Karnaugh fueron inventados en el año 1953 tras un intenso de trabajo por parte de Maurice Karnaugh quien fuera un excelente físico y matemático nacido en los Estados Unidos que ejerció su profesión en la compañía Bell. Ya que este tema tiene que ver con Electrónica, podría considerar tener ciertos conocimientos sobre Electrónica Básica a fin de reforzar el dominio sobre el tema.

Sus características

Los mapas de Karnaugh se caracterizan por los siguientes aspectos:

  • Es un método elaborado para que se facilite la labor al momento de trabajar con sumas de productos bastante grandes reduciendo estos a una cantidad mínima sin afectar los resultados de la operación bien sea física o matemática.
  • Las variables que se utilizan para establecer un número con este sistema deben ser las mínimas (Es la razón de ser de este método).
  • En cada expresión a trabajar ellos facilitas este trabajo ya que sirven para detectar y utilizar los números que aplican para elaborar una expresión o función numérica mínima, de esta forma es como se elaboran las expresiones numéricas pequeñas que significan lo mismo que las más grandes.
  • Entre los diferentes nombres que se les dan a los mapas de Karnaugh, también destaca Diagrama de Veith o Tabla de Karnaugh.
  • Sirven para conseguir de forma rápida un resultado al sumar los productos.
  • Se basan en ciertos gráficos los cuales son los utilizados para explicar tanto el proceso como los resultados en los cálculos realizados.
  • Su representación gráfica es a través de ciertos cuadrados los cuales tienen componentes y estos pueden ser un 0 también un 1.
  • Las funciones de tipo mecánicas son la base más fuerte que tiene este método o mapa.
  • Trabajan con minterms adyacentes y estos son los que hacen la diferencia respecto a las variables.
  • Están diseñados para que una expresión numérica no sea siempre igual, pero la suma de sus productos puede dar el mismo resultado.
  • El tipo de expresión que se utiliza en los mapas de Karnaugh para las funciones es el tipo canónico.
  • Si se trabaja con electrónica, servirán para hacer los cálculos necesarios al momento de construir un circuito digital con una buena optimización.
  • Los cálculos que se pueden hacer con estos mapas de Karnaugh, permiten que se configuren ciertos programas de computación y los programas de cálculo trabajan con este método para ofrecer resultados en poco tiempo.
  • Poseen numeraciones 2n en sus cuadrados y posee adicionalmente 2 filas 2n.

Mapas de Karnaugh

El procedimiento para elaborar los Mapas de Karnaugh

Si está interesado en trabajar con esta metodología bien sea en un sistema informático o un simple cálculo matemático o físico, elaborar estos mapas es un proceso que requiere de varias partes para su realización. Estas partes son las siguientes:

Primera parte

  • Debe hacerse el registro de las variables ABC, el mismo se hace en una tabla lógica.
  • La tabla lógica es aquella que se encargará de hacer el procesamiento y de esta forma obtener los resultados “Y” que se están buscando en la operación.
  • Cada valor que se obtenga sin duda alguna se considerará como voluminoso, esto traerá como consecuencia el trabajo con expresiones mucho más grandes.
  • Si desea hacer la simplificación de su mapa de Karnaugh deberá hacer la optimización logrando pasar todos los valores de la tabla lógica a este mapa y para ello deberá hacer la ubicación de cada cuadrado 1 de la función “Y” con la coordenada que corresponda a cada caso.

La Electrónica Digital es algo que ha ganado mucho terreno y ya que estos mapas son el origen para circuitos electrónicos debería tener cierta idea también sobre este tema.

Segunda parte

  • Para continuar con la realización de los mapas de Karnaugh debe deberá definir desde el principio las coordenadas de la matriz que estará trabajando.
  • Un notorio ejemplo para esta labor sería observar el punto donde se define el eje horizontal junto a las variables “AB” y también la definición del eje vertical junto a la variable “C”.
  • Las variables que se utilicen en este método siempre tendrán que ser de tipo complementario, por esta razón deben marcarse las mismas bien sea con una comilla de las simples o también con una línea superior.

 

Tercera parte

  • Deberá realizar el traslado de la matriz de las variables A, B y C que están en la tabla y este traslado debe corresponder con el valor más alto que tenga la salida “Y”.
  • Para hacer esto, deberá utilizar las coordenadas respectivas de cada matriz a fin de evitar confusiones.
  • En el caso de la coordenada A´BC´debe utilizarse el cuadrado que lleva el número 1.
  • En cuanto a la coordenada ABC´y la coordenada A´BC deberá utilizarse también el cuadrado de número 1.
  • Estos son los valores que se conocen como Minterms.

Cuarta parte

  • Este es el punto donde se usan los mapas de Karnaugh para lo que han sido creados (Para la realización de la simplificación).
  • Todos los Minterms que sean contiguos deben sumarse, inmediatamente se deben anular todas las variables complementarias.
  • Si se presenta la situación particular en la que el resultado de la suma de los Minterms de la variable Z eliminen la variable A, entonces estos deberán mostrarse solamente de forma complementaria.
  • Las operaciones booleanas deben continuar su curso normal.
  • Con fines de facilitar un poco más el procedimiento, deberá hacerse la definición de una variable la cual sea eliminada justamente cuando se llegue a la complementación de la suma.
  • Para finalizar el uso de este método de simplificación, debe tenerse el resultado de la suma entre Z y X. este resultado será aquella combinación utilizada, pero de forma abreviada con los números que vienen desde la tabla de la verdad. Al terminar este proceso esa gran expresión numérica quedará reducida a una que le permita trabajar con más tranquilidad.
  • De esta forma, quedará totalmente simplificado cada circuito lógico donde se aplique este método manteniendo la función en todo momento.

Este sistema de cálculo es el que se utiliza muchísimas veces en la informática a fin de que el procesador de un sistema computarizado trabaje de una manera más fácil y ofrezca los resultados esperados en el menor tiempo posible.

Mapas de Karnaugh

Las ventajas de trabajar con estos mapas

En este punto es posible que se pregunte ¿Pero qué ventajas tiene utilizar los mapas de Karnaugh? Es una pregunta totalmente válida. Es bueno tener en cuenta que cuando Maurice Karnaugh creó este método fue con la finalidad de facilitar a las personas el trabajo con las funciones numéricas a través de ciertas tablas. Las ventajas que ofrece trabajar con este mapa o método son las siguientes:

  • Los mapas de Karnaugh permiten que se realice cualquier tipo de conversión que esté relacionada con una tabla de la verdad que sea utilizada en cualquier ecuación Booleana, esto obtiene un resultado o forma SOP de tipo minimizada.
  • No solo se utilizan para hacer cualquier tipo de simplificación, también brindan a quien desee ponerlo en práctica un conjunto de sencillas reglas para que estas simplificaciones se hagan correctamente.
  • Como ventaja más importante, se convierten en un procedimiento mucho más rápido que tiene una mayor eficiencia, incluso se han comparado con otras técnicas ofrecidas a través de Álgebra de Boole comprobando que los mapas de Karnaugh son mucho más eficientes a corto plazo.

Mapa de karnaugh y Álgebra de Boole

¿Existen algunas reglas para realizar los mapas de Karnaugh?

La respuesta para esto es si, este tipo de mapas no puede realizarse si no se respetan ciertos principios o reglas que garantizarán la efectividad cuando se realice una simplificación, estas reglas a aplicar son las siguientes:

  • Principalmente quien vaya a utilizar este método deberá tener en cuenta que solamente deberá utilizar el número “1” al momento de la realización de cualquier tipo de agrupaciones al momento de iniciar un proceso de simplificación.
  • Sea cual sea la agrupación que vaya a realizar con los mapas de Karnaugh podrá realizarlas de forma horizontal y vertical, no aplica diagonales u otro tipo de agrupación que desee hacer.
  • Siempre tenga en consideración que cualquiera de las agrupaciones que vaya a realizar tendrán que formarse de 2n elementos. De esta manera garantizará que cada grupo donde se ha realizado la agrupación contenga la cantidad adecuada de cuadrados número 1 y cuadrados número 2n.
  • A fines de obtener un mejor resultado al realizar una simplificación, es bueno considerar cuál es el grupo más grande y empezar a trabajar con él para ir despejando cualquier incógnita.
  • Necesariamente deberá considerar todo lo que se haya asociado con el cuadrado de número 1.
  • Deberá siempre juntar varios grupos de 1 para que no ocurra ningún inconveniente al iniciar las simplificaciones.
  • Considere siempre la menor cantidad bien sea de agrupaciones o cualquier posibilidad de establecer un grupo siempre y cuando se utilicen las reglas del mapa de Karnaugh.

Tener un conocimiento sobre Transistores electrónicos es una forma de ampliar lo que se sabe sobre estos mapas poniendo en práctica los mismos, los circuitos que utilizan estos transistores requieren de mapas de Karnaugh para funcionar correctamente.

Procedimiento para simplificar estos mapas

Después de haber leído como simplificar las funciones numéricas en este tipo de mapa y las reglas para trabajar dichas funciones, es recomendable su utilización en 2 o máximo 5 variables, se muestra a continuación un procedimiento para que la elaboración de los mapas de Karnaugh sea mucho más fácil y lo que debe hacer es lo siguiente:

Primera parte (Realizar el dibujo de la tabla de Karnaugh)

  • Una vez hecho este dibujo, el mapa deberá poseer ciertas casillas en las cuales se muestre a “2n”, a “n” se consideran todos los números de variables que se van a utilizar.
  • Un ejemplo que se tendrá en cuenta es que, para 2 variables, deberá hacerse una tabla que tenga 4 casillas, en el caso de 3 variables deberá tener 8 casillas y si son 4 variables deberá tener 16 casillas.
  • Seguido de esto, podrá verse la forma en la que estas tablas quedarán ya que dependerá de la cantidad de variables que se utilizaron en la entrada.

Segunda parte (Se realizan las combinaciones de todas las variables de la entrada)

  • Lo que se busca con esta tabla que se ha obtenido es que en la misma se puedan reflejar fácilmente todas las salidas bien sea 0 o 1 y esto aplica para las distintas combinaciones utilizadas al hacer las variables de entradas.
  • Si se utiliza el ejemplo de la tabla para 3 variables, en esta se deben colocar las variables A y también la B sobre la línea que atraviesa al vértice superior.
  • En las distintas columnas que tenga esta tabla podrán apreciarse ciertas combinaciones de las dos variables nombradas, por ejemplo 00, 01, 11 o 10.
  • En donde se encuentran las filas, justo en esta parte deberá asegurarse que se coloque bien la tercera variable que será la variable C. junto a ella también los posibles estados de cada una de las filas, estos serán 0 también 1.
  • Debe tenerse mucho cuidado en el orden tanto del 0 como del 1. En el caso de cada variable utilizada estos deberán tener el orden en el que aparecieron en cada una de las tablas que se han obtenido.
  • De forma obligatoria se deberá prestar atención ya que cuando se pasa entre cada una de las combinaciones en una tabla, podría haber un cambio en los valores de cada variable, si esto no se tiene en cuenta habrá grandes cambios en los resultados.

Mapas de Karnaugh

Tercera parte (Se debe hacer el relleno de todos los valores de salida)

  • Cuando tenga su tabla o como también se les dice mapas de Karnaugh, deberá hacer el llenado de todos aquellos valores posibles en la salida, estos corresponden a cada producto que se encuentre en los distintos valores de entrada.
  • Llegado a este punto se tendrán 2 posibilidades, una de ellas es que la obtención de resultados a través de la tabla de la verdad y la otra es la obtención de toda la función lógica que tiene un circuito.
  • En la mayoría de los casos lo que se obtiene primero será la tabla de la verdad.
  • Seguido de esto la obtención de la función lógica vendrá luego de que los datos de la tabla de la verdad se tengan a mano.
  • Si ya llegó al punto donde cuenta con su tabla de la verdad, entonces deberá colocar un 0 en el cuadro destinado para combinar aquellas variables de salida que se ubican en el valor 0 de dicha tabla y también deberá colocar el número 1 en aquel cuadrado donde exista una combinación de las variables de la salida 1.
  • Si se da el caso donde se obtiene la función lógica, solamente tendrá que tomar en cuenta que las combinaciones que se dan en las variables de productos de función serán aquellas cuya salida sean con valores de 1.

Cuarta parte (Realizar la agrupación de 1)

  • En este punto deberá hacer la agrupación de aquellos “1” y esta deberá hacerse bien sea de dos en dos, cuatro en cuatro u ocho en ocho y así como vayan dándose las cosas.
  • Después que agrupe todos los “1” que se encuentran en la tabla de la verdad, deberá hacer distintos grupos que vayan desde “1” hasta 2n.
  • La recomendación para este caso es que realice una agrupación con una gran cantidad de 1, la mayor que pueda, en este caso no importa que aquellos sean de diferentes grupos.
  • Asegúrese que se cumpla con las agrupaciones que se deben realizar de forma vertical u horizontal. Recuerde que jamás deben hacerse agrupaciones diagonales en un mapa de Karnaugh.

Quinta parte (Aquí se obtendrá la función totalmente simplificada)

  • Al llegar a esta parte, obtendrá un término que será para cada grupo 1, esto será el resultado de sumar todos los productos.
  • Al realizar esto, obtendrá una función que estará totalmente simplificada.
  • Si desea saber cuál es el término que utiliza una función, deberá escoger uno de los grupos de 1 en el que simultáneamente pueda comprobarse si hay algún cambio en el valor de una variable.
  • Si hay algún cambio en el valor de la variable bien sea 0 a 1 o 1 a 0, esta variable deberá ser eliminada.

En este punto usted pensará, ¿Por qué debo eliminar una variable cuando se da un cambio? Esto se debe que si se da un cambio de este tipo en un valor que se encuentre dentro de un grupo de 1, la variable se encargará de hacer hasta unas dos veces la multiplicación, una será invertida y la otra no lo será y estará rompiendo con la esencia de este mapa que es simplificar una función.

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